SOA考试IFM准备笔记

IFM考试是一项为期三小时的多项选择题考试，旨在帮助你掌握公司财务和财务模型的理论要素。在所有三次初试中，IFM考试的题目最多，总共有10个。Analystrep的学术和实践精算师团队已经开发了简明的准备笔记，重点关注金融市场的所有基本方面。

有了AnalystPrep的简明备考笔记，你可以在平板电脑、电脑上阅读，或者在进入平台的题库部分之前打印每个概念。

对数正态分布

假设我们有一个随机变量X。如果它的自然对数（Lnx）是正态分布，那么这个变量将有一个对数正态分布。换句话说，当一个随机变量的自然对数是正态分布时，那么这个变量本身将有一个对数正态分布。

也就是说,

如果X是对数正态分布的，我们可以用参数\（\mu\）和\（\sigma\）来写，

\（X\sim\log{N\left（\mu\sigma^2\right）}\）。概率分布函数由下式给出：

$ $ f (x) = \压裂{1}{σx \ \ sqrt{2 \π}}e ^{- \压裂{1}{2}\离开(\压裂计算lnx - \μ}{{\σ}\右)^ 2}\文本为}{0 < x < \ infty $ $

对数正态分布的均值和方差为：

$$E（X）=E^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}$$

和

$ $ Var (X) = e ^{2 \μ+ \σ^ 2}{(e ^{\σ^ 2}1)}$ $

对数正态分布的两个最重要特征如下：

• 它的下限为零，即对数正态变量不能为负值
• 分布向右倾斜，即它有一条长长的右尾。

这些特征与正态分布的特征形成了直接对比，正态分布是对称的（零偏斜），可以呈现负值和正值。因此，正态分布不能用于模拟股票价格，因为股票价格不能降到零以下。对数正态分布也可用于对期权进行估值。

股票价格的对数正态性

Black-Scholes和Merton采用了一个模型，该模型假设股票价格在短期内的百分比变化是正态分布的。现在，定义如下：

\（\mu\）-每年股票的快速回报

(\sigma\)-每年股票价格的波动率

从直观上看，时间的返回值\(\Delta t\)是\(\mu \Delta t\)，标准偏差是\(\sigma \sqrt{\Delta t}\)。这意味着:

$$\frac{\Delta S}{S}=\Phi（\mu\Delta t\sigma^2\Delta t）$$

式中，\（\Delta S\）是在时间\（\Delta t\）时股票价格的变化，\（\Phi（m，v）\）是均值m和方差v的正态分布。

没有证据，它暗示:

$ $ \开始{对齐*}& ln⁡S_T-ln⁡S_0 \ sim \φ\离开[\离开(\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] \ \ \ Rightarrow & \压裂{ln⁡S_T} {ln⁡S_0} \ sim \φ\离开[\离开(\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] \ \ \{对齐*}$ $

也

$ $ ln⁡S_T \ sim \φ\离开(ln⁡S_0 +左\ \μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] $ $

最后一个表达式可以写成:

$ $ ln⁡S_T左\ sim N \ [ln⁡S_0 +左\ \μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T, T \ \σ^ 2是正确的 ]............( 1) $ $

我们将集中在哪些方面，哪些方面:
\（S_T\）=时间T时的股价
\（S_0\）=0时的股价
\（\mu\）=每年的预期股票回报率
\(\sigma\)=股票价格的年度波动率

如果我们让(\delta\)作为股息收益率，那么(1)就变成:

$ $ ln⁡S_T左\ sim N \ [ln⁡S_0 + \离开(\μ-三角洲\ \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] $ $

股息收益率的减法是必要的，因为较高的股息收益率意味着较低的未来股价。

注:上述关系成立的原因是，在数学上，如果一个随机变量x(lnx)的自然对数是正态分布，那么xx就是对数正态分布。同样需要注意的是，BSM模型假设股票价格是对数正态分布的股票收益正态分布．具体地说，连续复合年收益正态分布为:

平均值\（\left[\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right]\）和方差\（\frac{\sigma^2}{T}\）

例子

ABC股票的初始价格为60美元，预期年回报率为10%，年波动率为15%。计算六个月内股价分布的平均值和方差。

1. \（\mu\）=4.139，\（\sigma\）=0.011
2. \ \μ(\ \)= - 3.139,σ(\ \)= 0.211
3. \（\mu\）=4.039，\（\sigma\）=0.013
4. \（\mu\）=4.139，\（\sigma\）=0.011
5. \ \μ(\ \)= - 2.139,σ(\ \)= 0.211

正确答案是A。

我们知道:

$ $ \开始{对齐*}& ln⁡S_T-ln⁡S_0 \ sim \φ\离开[\离开(\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] \ \ & = N \离开(ln⁡60 + \离开(0.10 - \压裂{0.15 ^ 2}{2}\右)0.5,0.15 ^ 2×0.5 \]\ \ & \ Rightarrow ' lnS_T \ sim N[4.139, 0.011] \ \ \{对齐*}$ $

有时，考官可能希望通过涉及置信区间来测试您对对数正态概念的理解⁡S_T\）为对数正态分布，95%的值将落在平均值的1.96标准偏差内。同样，99%的值将落在平均值的2.58标准偏差内。