SOA考试P学习笔记

考试P是一个三小时的多项选择题考试，旨在测试你对用于评估风险的基本概率工具的知识。AnalystPrep开发了简明的学习笔记，专注于精算师协会考试中测试的学习目标。

考试有三个主要的主题，每个主题都有许多不同的学习目标。有了AnalystPrep为考试P提供的简明学习笔记，您可以在平板电脑、电脑上阅读，或者在进入平台的题库部分之前打印每个概念。

的离散随机变量的方差为变量所能取的所有值的平方和乘以该值出现的概率减去变量所能取的所有值的和乘以该值出现的概率的平方和，如下式所示:
$$Var\left（X\right）=\sum{{X}{2}p\left（X\right）{\left[\sum{X}p\left（X\right）}\right]}{2}$$

或者写成\(E(X)\)的函数，则:
$ $ Var \左(X \右)= E \左({X} ^{2} \右)- E{\左(X \右)}^ {2}$ $
通常\(E(X)\)写成\(\mu\)，因此方差也可以如下式所示:
$ $ Var \左(X \右)= \总和{{\离开(X - \μ\右)}^ {2}p \离开(X \右)}$ $

例子
给出滚动单个骰子的实验，计算\(Var(X)\)。

\ (E (X) = 1 \ ast ({1} / {6}) + 2 \ ast ({1} / {6}) + 3 \ ast ({1} / {6}) + 4 \ ast ({1} / {6}) + 5 \ ast ({1} / {6}) + 6 \ ast ({1} / {6}) = 3.5 \)

\ (E (X ^ 2) = 1 \ ast ({1} / {6}) + 2 ^ 2 \ ast ({1} / {6}) + 3 ^ 2 \ ast ({1} / {6}) + 4 ^ 2 \ ast ({1} / {6}) + 5 ^ 2 \ ast ({1} / {6}) + 6 ^ 2 \ ast ({1} / {6}) = {91} / {6} \)

\ (Var \左(X \右)= \左(91/6 \右)- \左(3.5 \右)^ 2 = {35}/ {12}= 2.92 \)

我们也可以计算\(Var(X)\)为:

\(E \left(X \right) = \mu =3.5 \)
开始\{对齐*}
Var \左(X \右)= & (1 - 3.5)^ 2 \ ast (1/6) + (2 - 3.5) ^ 2 \ ast (1/6) + (3 - 3.5) ^ 2 \ ast (1/6) + (4 - 3.5) ^ 2 \ ast (1/6) + \ \
& (5 - 3.5) ^ 2 \ ast (1/6) + (6 - 3.5) ^ 2 \ \ \ ast (1/6) = 2.92
结束\{对齐*}

的连续随机变量的方差如下式所示:
$ $ Var \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{X} ^ {2} f \离开(X \右)dx} -{左\ [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{X} f \离开(X \右)dx} \右]}^ {2}$ $
其中\(f(x)\)为\(x\)的概率密度函数。

与离散情况一样，它也可以写成：
$ $ Var \左(X \右)= E \左({X} ^{2} \右)- E{\左(X \右)}^ {2}$ $

而且,
$ $ Var \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}{{\离开(X - \μ\右)}^ {2}f \离开(X \右)dx} $ $

例子
给定连续随机变量的概率密度函数如下:
$$ f\left(x \right) =\begin{cases} \frac {x}{2}， & 0 <x & lt;2 \\ 0， &否则结束{案例}$$
计算\ (Var (X) \)。
$ $
开始\{对齐*}
& E \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {xf \离开(X \右)dx =} \ int _ {0} ^ {2} {X \ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={\离开[\压裂{{X} ^{3}}{6} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = \压裂{8}{6}= \压裂{4}{3}\ \
& E \左(X ^ 2 \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {X ^ 2 f \左(X \右)dx =} \ int _ {0} ^ {2} {X ^ 2 \ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={左\[\压裂{{X} ^{4}}{8} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = 2 \ \
&Var\left（X\right）=2–{\left（{4}/{3}\right）}^2={2}/{9}\\
结束\{对齐*}
$ $
或者,
$ $ Var \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}{{\离开(X - \μ\右)}^ {2}f \左(X \右)dx =} \ int _{0} ^{2}{{\离开(X - \压裂{4}{3}\右)}^ {2}\ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={左\[\压裂{{X} ^{4}}{8} - \压裂{4}{9}{X} ^{3} + \压裂{4}{9}{X} ^{2} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = \压裂{2}{9}$ $

的标准偏差，通常写成\(\sigma\)，可以定义为:
美国南达科他州$ $ \左(X \右)= \σ= \√6 {Var \左(X \右)}$ $
的变异系数可以定义为标准差除以\(X\)的均值(或期望值)，如下式所示:
$$ cv = {{frac {\sigma}{\mu}} $$

\(X\)的方差有时通常被称为二阶矩(X)约为平均值。

第三个瞬间的\(X\)被称为偏态第四个时刻叫做峰度。

一般来说,米\(X\)的矩可由下式计算:
$ $ m \四\时刻离开(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}{{\离开(X - \μ\右)}^ {m} f \离开(X \右)dx} $ $

例子
给定连续随机变量的概率密度函数如下:
$$ f\left(x \right) =\begin{cases} \frac {x}{2}， & 0 <x & lt;2 \\ 0， &否则结束{案例}$$
计算偏态。
\(\开始{对齐*}
\μ& = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {xf \离开(x \右)dx =} \ int _ {0} ^ {2} {x \ ast \压裂{x} {2} \ ast dx} ={左\[\压裂{{x} ^{3}}{6} \右]}_ {x = 0} ^ {x = 2} = \压裂{8}{6}= \压裂{4}{3}\ \
斜\左(X \右)& = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}{{\离开(X - \μ\右)}^ {3}f \左(X \右)dx =} \ int _{0} ^{2}{{\离开(X - \压裂{4}{3}\右)}^ {3}\ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} \ \
& = \ int _{0} ^{2}{\离开(\压裂{{x} ^ {4}} {2} {x} 2 ^{3} + \压裂{8 {x} ^{2}}{3} - \压裂{32 x}{27} \右)dx ={左\[\压裂{{x} ^{5}}{10} - \压裂{{x} ^{4}}{2} + \压裂{8 {x} ^{3}}{9} - \压裂{16 {x} ^{2}}{27} \右]}_ {x = 0} ^ {x = 2} = {8} / {135}}
结束\{对齐*}
\)

二项(和伯努利)

实验的成功概率为\(p\)，失败概率为\(1-p\)，实验执行次数为(n\)次。
$ $
开始\{对齐*}
& p \左(x \右)= \左(\{矩阵}开始x n \ \ \{矩阵}结束\右){p} ^ {x}{\离开(1 - p \右)}^ {n} \ \
& E\left(X \right) =np \\
& Var左(X右)=np左(1-p右)\\
结束\{对齐*}
$ $
伯努利随机变量是二项式随机变量的特例，实验只进行一次。

负二项式
给定一个实验进行(X\)次，直到总共发生(r\)次成功，则
$ $
开始\{对齐*}
& p \左(x \右)= \左(\{矩阵}开始x - 1 \ \ r 1 \{矩阵}结束\右){\离开(1 - p \右)}^ {x r} {p} ^ {r} \ \
& E\left(X \right) = frac {r}{p} \\
& Var \左(X \右)= {r \离开(1 - p \右)}/ {p ^ {2}} \ \
结束\{对齐*}
$ $

几何
给定一个实验的执行次数为\(X\)，直到成功发生，且每次试验成功的概率等于\(p\)，则
$$\begin{align*}
& p \左(x \右)= \左(1 - p \右)^ \ p (x - 1 \) \ \
&E\left（X\right）={1}/{p}\\
& Var left(X \right)={\left(1-p \right)}/{p^2} \
结束\{对齐*}
$ $

超几何
$$\begin{align*}
& p\left(x \right) = frac {\left(\begin{matrix} M \ x \end{matrix} right) \left(\begin{matrix} N-M \ N- x \end{matrix} right)}{\left(\begin{matrix} N \ N \end{matrix} right)} \
& E\left(X \right)={{frac {nm}{N}} \\
& Var \左(X \右)={纳米\左(N - m \) \左(N N \右)}/ {N ^ 2左(N - 1 \右)}\ \ \
结束\{对齐*}
$ $

泊松
泊松随机变量可以描述为在固定时间内发生的事件数量，如果事件以已知的恒定速率发生，\(\lambda\)。
$$\begin{align*}
& p \左(x \右)={\压裂{{e} ^{- \λ}{\λ}^ {x}} {x !}} \ \
& E(X) = \lambda \\
& Var左(X右)= \lambda \\
结束\{对齐*}
$ $

制服——离散
在一个所有结果都是等可能的实验中
$$\begin{align*}
& p \left(x \right)={\frac {1}{b-a+1}} \
& E \left(X \right)={{frac {b+a}{2}} \\
& Var \左(X \右)={\压裂{\左(b + 2 \) \左(b \右)}{12}}\ \
结束\{对齐*}
$ $

统一的,连续的
$$\begin{align*}
& f\left(x \right)={\frac {1}{b-a}}} \\
&E\left（X\right）={\frac{b+a}{2}\\
& Var \左(X \右)={\压裂{{\左(b \右)}^ 2}{12}}\ \
结束\{对齐*}
$ $

指数
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= {e{\λ}}^ {x} -{\λ}\ \
& E\left(X \right)={\frac {1}{\lambda}} \\
& Var左(X右)={{frac {1}{{lambda}^2}}} \\
结束\{对齐*}
$ $

γ
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= \压裂{{e{\λ}}^ {x} -{\λ}{\离开(x \右){\λ}}^{\α1}}{\伽马\离开α(\ \)}\ \
&在\四{\伽马\离开α(\ \)}= \ int _ {0} ^ {\ infty} {{e} ^ {- y} {y} ^{\α1}dy} \ \
& E \left(X \right)={\frac {\alpha}{\lambda}} \\
&Var\left（X\right）={\frac{\alpha}{\lambda^2}\\
结束\{对齐*}
$ $

正常的
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= \压裂{1}{\σ\ sqrt{2 \π}}{e} ^{-。5{\离开(\压裂{x - \μ}{\σ}\右)}^ {2}}
\ \
& E \left(X \right)= \mu \
& Var左(X右)= \sigma \
结束\{对齐*}
$ $
的标准常态分布有\（E（X）=0\）和\（Var（X）=1\）。