SOA考试FM学习笔记

FM是一个三小时、35道多项选择题的考试，旨在测试你对金融数学基本概念的了解。AnalystPrep开发了简明的学习笔记，专注于精算师协会考试中测试的学习目标。

SOA考试FM的教学大纲包含8个主题，每个主题占考试的一定比例。借助AnalystPrep为Exam FM提供的简明学习笔记，您可以在平板电脑、电脑上阅读，或在进入平台的题库部分之前打印每个概念。

总结

A.贷款可被视为复利交易，其中借款金额（本金）定期付款在预定的期限内以固定利率(贷款期限)．偿还贷款有时会涉及减少支付是指在贷款期限结束时支付的短期款项。

个人或公司通过向银行等金融机构贷款筹集资金。

让\（L\）打赌每期期末的\（n\）分期付款\（X\）和利率\（i\）。那么价值方程式为：$$
{a}_{\overline {n|}}=L $$
作为一个开窍，考虑下面的例子。

例1

合作社借给农民1000美元，每年年底支付，为期3年。贷款利率为10%。

计算每个年度付款的金额。

1. 309.45
2. 408.56
3. 305.45
4. 234.78
5. 402.11

解决方案

正确答案是E

假设年支付额为X美元，则价值方程式为：
$$ X{a}_{\overline{3} |}=1000\右tarrow X= frac {1000}{{{a}_{\overline {3} |}}= frac {1000}{2.486852}= 402.1148 $$
因此，农民支付402.1148在第一年，第二年和第三年结束时。值得注意的是，这一数额涵盖了贷款的利息和资本偿还部分。

考虑上面的例子1:

初始资本金额是1000美元。贷款的第一次支付是在时间1，到期利息是(0.1\乘以1000=$100\)。这是支付的利息部分402.1148所以本金偿还是\(402.1148-100=302.1148\)。因此，第一次付款后的未偿还资金是\(1000-302.1148=697.8852\)。

第二年，有趣的部分将是\（0.1乘以697.8852=69.78852\）。资本偿还部分为\（402.1148-69.78852=332.32628\）。因此，第二次付款后的未偿资本为\（697.8852-332.32628=365.559\）

在贷款期限结束时，到期的利息将是(0.1倍365.55892=36.555892)。因此，资本偿还是\(402.1148-36.555892=365.559\)，因此资本恰好在最后一次支付。

上面的例子应该能让我们了解贷款是如何交易的。值得注意的是，关于年金的知识在这里很重要。

计算贷款余额（未偿资本）

考虑在贷款期限结束的时间n的贷款交易。也就是说，最后一笔还款正好包括了未偿还资本和到期利息。现在,让

\（{L}{k}\）–任何时候未偿还的贷款金额k=0,1,2，…n

\({X}_{k}\) -定期分期付款在任何时间\(k=1,2，\cdots n\)

\({C}_{k}\) -在时间\(k=1,2，\cdots n\)

\（{I}{k}\）-在\（k=1,2，n \）时支付的利息金额

(i)-贷款的利率

在任何时候\(k=1,2，\cdots n，\)
$$ {X}_{k}={L}_{k}+{I}_{k} $$
价值方程式由下式给出：
$${L}{0}={X}{1}v+{X}{2}{v}^{2}+\cdot\cdot\cdot+{X}{n}{v}^{n}$$
这很直观

还要注意:
$${I}{k}=I{L}{k-1}\quad和\quad{C}{k}={L}{k-1}$$
从上一个结果可以很容易地看出：
$$ {X}_{k}=i{L}_{k-1}+{L}_{k-1} $$
您可以参考示例1，了解如何应用这些公式。

计算贷款余额有两种方法:

1. 1. 未来的方法

1. 1. 回顾性的方法

前瞻性方法。

此方法将贷款余额计算为贷款期限内按给定利率进行的未来付款现值之和。
我们知道：
$$ {I}_{k}={iL}_{k-1} $$
和
$${C}{k}={L}{k-1}$$
因此,
$ $ \开始{对齐*}
{{X}{{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{X}{k}
\{对齐*}$ $
从最后一个表达式中，很容易看出，时间\（k-1\）的未偿资本相当于时间\（k\）未来付款的现值。

从上述结果中，我们可以轻松地看到，在任何时候\（k=1,2，…n\），
$ $ \开始{对齐*}
{1} _ {k} & = {X} _ {k + {1}} v + {X} _ {k + {2}} {v} ^ {2} + {X} _ {k + {3}} {v} ^ {3} + \ cdot \ cdot \ cdot + {X} _ {n} {v} ^ {{n - k}} \ \ & = X{一}_{\眉题{n - k} |} \四(注意\四\四\四\四假设\四\四届\四\四\四不变)付款
\{对齐*}$ $
从而完成了计算贷款余额的预期方法的定义。

例2

合作社借给农民1000美元，每年年底支付，为期3年。贷款利率为10%。

使用预期法计算首次付款后的未偿资本。

1. 697.88
2. 600.97
3. 778.89
4. 765.43
5. 765.34

解决方案

正确答案是A。

假设年支付额为X美元，则价值方程式为：
$$ X{a}_{\overline{3} |}=1000\右tarrow X= frac {1000}{{{a}_{\overline {3} |}}= frac {1000}{2.486852}= 402.1148 $$
我们知道：
$ $ {1} _ {k} = {X} _ {k + {1}} v + {X} _ {k + {2}} {v} ^ {2} + {X} _ {k + {3}} {v} ^ {3} + \ cdot \ cdot \ cdot + {X} _ {n} {v} ^ {{n - k}} $ $
我们需要:
$ $ {1} _ {1} = {X} _ {2} v + {X} _ {3} {v} ^{2} = 402.1148{\左(1.1 \右)}^{1}+ 402.1148{\左(1.1 \右)}^ {2}= 697.8852 $ $
所以
$$ {l}_{1}=697.8852 $$
回顾性的方法

这种方法可以称为“向后看”。它将未偿资本计算为估值时的贷款累计金额减去估值时之前已支付的所有定期付款（分期付款）的累计价值。

使用上面定义的相同符号，我们知道：
$$ {I}_{k}={iL}_{k-1} $$
这样:
$$ {I}_{1}={iL}_{0} $$
我们还知道：
$ $ \开始{对齐*}
{X} _ {k} & ={他}_ {k - 1} + {C} _ {k} \ \ \ Rightarrow {C} _ {k} & = {X} _ {k} -{他}_ {k - 1} \四\离开(召回\四\四{C} _ {k} = {1} _ {k - 1} \右)
\{对齐*}$ $
因此，在k=1时偿还的资本为：
$$ {C}_{1}={X}_{1}-{iL}_{0} $$
所以第一次付款后的贷款余额为:
$ $ \开始{对齐*}
{L}{1}&={L}{0}-\左（{X}{1}-{iL}{0}\右）\\\\\&={L}{0}\左（1+i \右）{X}{1}
\{对齐*}$ $
直观地说，在任何时候(k\ge 1\)该点的利息将是:
$$ {I}_{k}={iL}_{k-1} $$
偿还的资本是:
$${C}{k}={X}{k}-{iL}{k-1}$$
任意时刻k的贷款余额为:
$ $ {1} _ {k} = {1} _ {k - 1} \离开(1 + i \右)——{X} _ {k} $ $
在这一点，很容易看出，如果我们从时刻k算到时刻0，
$ $ {1} _ {k} ={1} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {k} -左\ [{X} _{1}{\离开(1 + i \右)}^ {k - 1} + {X} _{2}{\离开(1 + i \右)}^ {k - 1} + \ cdot \ cdot \ cdot + {X} _ {k - 1}{\离开(1 + i \右)}+ {X} _ {k} \] $ $
所以
$${L}{k}={L}{0}{\左（1+i\右）}^{k}-X{s}{\上划线{k}}}$$
这样就完成了使用回顾性方法计算贷款余额的定义。

例3

合作社借给农民1000美元，每年年底支付，为期3年。贷款利率为10%。

使用追溯法计算首次付款后的未偿资本。

1. 675.43
2. 697.89
3. 700.56
4. 765.43
5. 800.45

解决方案

正确答案是B
$ $ {1} _ {k} ={1} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {k} -左\ [{X} _{1}{\离开(1 + i \右)}^ {k - 1} + {X} _{2}{\离开(1 + i \右)}^ {k - 1} + \ cdot \ cdot \ cdot + {X} _ {k - 1}{\离开(1 + i \右)}+ {X} _ {k} \] $ $
可以写成:
$${L}{k}={L}{0}{\左（1+i\右）}^{k}-X{s}{\上划线{k}}}$$
我们需要:
$ ${1} _{1} ={1} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {1}- x{年代}_{\眉题{1}|}$ $
现在

假设年支付额为$\（X\），则价值方程式为：
$ $ \开始{对齐*}
X{} _{\眉题{3}|}& = 1000 X = \ \ Rightarrow压裂{1000}{{一}_{\眉题{3 } | } } =\ 压裂{1000}{2.486852}= 402.1148 \ \ \ Rightarrow {L} _{1} & = 1000{\左(1.1 \右)}^ -402.1148{1}{\离开(1 \右)}\ \ & = 1100 - 402.1148 = 697.885
\{对齐*}$ $
很容易证明这两种方法的结果是一样的。回顾性方法由:
$ $ \开始{对齐*}
{1} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {k} - X{年代}_{\眉题{k} |} & = X{一}_{\眉题{n} |}{\离开(1 + i \右)}^ {k} - X{年代}_{\眉题{k} |} \离开(因为\四{L} _{0} ={一}_{\眉题{n} |} \) \ \ & = X \离开[\压裂{1 - {v} ^ {n}}{我}{\离开(1 + i \右)}^ {k} - \压裂{{\离开(1 + i \右)}^ k}{1}{我}\正确)\四(应用简单\四\四代数)\ \ & = X \离开[\压裂{1 - {v} ^ {n - k}}{我}\右]\ \ & = X{一}_{\眉题{n - k} |} @i
\{对齐*}$ $
最后一个表达式是预先计算贷款余额的简单公式。所以
L $ ${} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {k} - X{年代}_{\眉题{k} |} = X{一}_{\眉题{n - k} |} @i $ $
随时计算到期利息和贷款余额。

由公式\({I}_{k}={iL}_{k-1}\)可以很容易地看出，在找到未偿付资金后，我们可以找到每个分期的资本元素。

考虑下面的例子3：

假设我们想要计算第一次付款之后的到期利息。我们计算出未偿还资金为697.885

所以
$ $ \开始{对齐*}
{我}_ {k} & ={他}_ {k - 1} \ \ & = 0.1 \ * 697.885 = 69.7885
\{对齐*}$ $
一般来说，利息支付是通过计算前一次支付后的贷款余额，然后通过将有效利率与前一次未偿还资本相乘得到利息。分期付款的资本元素是通过减去分期付款的利息得到的。

例4

投资者从银行贷款32000美元，每年年底以等额10次偿还。实际利率是4%。

4 .计算利息^th付款。

1. 947.2
2. 958.67
3. 897.2
4. 654.32
5. 567.56

解决方案

正确答案是A

每年支付$ (X\)。所以
$$X{a}{\overline{10}{124;}=32000\Rightarrow X=\frac{32000}{a}}{\overline{10}}}}}}}=\frac{32000}{8.110896}=3945.3102$$
我们需要在3个月后找到贷款余额^{理查德·道金斯}付款。那就是:
$ $ \开始{对齐*}
{L}{k}&=X{a}{n-k}{1242}\\\右箭头{L}{3}&=X{a}{7}}\\\\\&=3945.3102\乘以6.0021=23679.9675
\{对齐*}$ $
4的利息元素^th要素是：
$ $ \开始{对齐*}
{I}{k}&={iL}{k-1}\\\右箭头{L}{3}&=0.04倍23679.9675=947.1987
\{对齐*}$ $
分期付款比按年付款更频繁

有些贷款半年、季度或每月支付一次。现在有了新的规则或原则，但在计算任何分期付款的到期利息时，人们都应该保持敏锐。

例如，一笔贷款按每月$ (X\)分期偿还，则其价值公式为:
$${L}{0}=X{a}{\overline{n}{124;}^{\ left（m\right）}$$
例5

投资者借款9000美元，在未来3年内按月等额分期支付。贷款的年实际利率为18.5%。

计算\ (Y \)。

1. 456.34
2. 234.56
3. 345.67
4. 285.56
5. 320.87

解决方案

正确答案是E

值的方程为:
$ $ \开始{对齐*}
3月3日（12\右）}{{{{12 Y{{{{{{{{{{{{{{{{3}}{{{{{{{{{{{{3}}{{{{{{{{{{3}}{{{{{3}}{{{{{{{{{{{3}}{{{{{{{{{{{{{3}}}{{{{{{{{{{{{{{3}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{12}}-1\右）}{12\左（1-{1.185}^{-3}\右）} =$320.13
\{对齐*}$ $
例6

用例5，计算13之后的资金余额^th付款。

1. 220.87
2. 227.97
3. 343.65
4. 546.89
5. 456.78

解决方案

正确答案是B

我们知道，采用预期法计算的未偿资本如下所示：
$${L}{k}=X{a}{\overline{n-k}}$$
未偿付资本排在12之后^th付款方式是:
$ $ \开始{对齐*}
{L}{1}&=320.13乘以12{a}{3-1}}}}{左（12\right）}\quad\left（四年工作时间\四年\右）\&=3841.56\left[\frac{1-{v}{2}}{左（12\right）}\right]=3841.56\times 1.6839=68.8029
\{对齐*}$ $
利息支付由:
$ $ \开始{对齐*}
&=6468.8029\times\frac{{i}^{\left（12\right）}{12}\\\&=6468.8029\times 0.01424720=92.1624\\
\{对齐*}$ $
因此，资本部分是：
$ $ 320.13 - -92.1624 = 227.9676 $ $

贷款摊销

如果一笔贷款是用分期偿还的方法支付的，那么每年的付款(分期付款)首先用于覆盖自上次支付以来发生的利息，另一部分用于减少本金。

为了清楚地看到这一点，让$\（L\）成为贷款金额。那么第一次付款的利息元素是\（iL \），但\（L={a}{{U}{\overline{n}|}@i\），其中i是贷款的利息。因此，第一次付款的利息要素简化为：
$$iL=i{a}{\overline{n}{124;}=i\left[\frac{1-{v}}{i}\right]=1-{v}{n}$$
从上面的公式很容易看出，\(1-{v}^{n}\)是用来抵消到期利息的金额，因此贷款本金由\({v}^{n}\)减少。那就是:
$ $ \开始{对齐*}
{一}_{\眉题{n} |} - {v} ^ {n}左& = \[\压裂{1 - {v} ^ {n}}{我}\右]- {v} ^ {n} \ \ & = \压裂{1 - {v} ^ {n} \离开(1 + i \右)}{我}= \压裂{1 - {v} ^ {n}}{我}={一}_{\眉题{n} |} @i
\{对齐*}$ $
使用上述结果，我们可以签订摊销时间表或有时称为贷款时间表如下所示:

时间	分期付款	利息支付	本金支付	未清余额
0				\（{a}{\第{n}}}\行）
1.	1.	\（i{a}{\overline{n}}}=1-{v}^{n}\）	\（{v}^{n}\）	\（{a}{\overline{n}}{124;}-{v}{n}={a}{\overline{n-1}{124;}\）
\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()
K	1.	\(我{}_{\眉题{n - k + 1} |} = 1 - {v} ^ {n} \)	\（{v}^{n-k+1}}\）	\({} _{\眉题{n - k + 1} |} - {v} ^ {n - k + 1} ={一}_{\眉题{n - k} |} \)
\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()	\ \ vdots \ ()
N	1.	\（i{a}{\第{1}}{124;}=1-{v}\）	\ \ (v)	\（{a}{\overline{1}}}-{v}={0}\）
总计	N	\（n-{a}{\第{n}}}行上方\）	\（{a}{\第{n}}}\行）	\ (\)

例7

一个商人从金融机构贷款1000美元，每年等额分期偿还，为期3年。年有效利率是7%。

构建贷款的摊销计划。

解决方案

我们需要找到年付款(分期付款)。由给定的信息得到的值方程为:

$ $ \开始{对齐*}
X{} _{\眉题{3}|}@7 \ % & = 1000 \ \ \ \ \ Rightarrow X = \压裂{1000}{{一}_{\眉题{3 } | } } = 381.05
\{对齐*}$ $
现在研究下表。它很有意义。

时间	分期付款	利息支付	资金支付	未清余额
0	–	–	–	1000
1.	381.05	0.07×1000 = 70	-70 = 311.05 = 381.05	= 1000 - 311.05 = 688.95
2.	381.05	0.07×688.95 = 48.2265	381.05 - -48.2265 = 332.8235	= 688.95 - -332.8235 = 356.1265
3.	381.05	0.07×356.1265 = 24.928855	= 381.05 - -24.928855 = 356.1211	= 356.1265 - -356.1211 \ \大约\ 0
总计	1143.15	143.1554	1000

细微的差别是由于四舍五入。否则，计算机软件如Excel将产生精确的值。

偿债基金的

这是一种定期分期付款的方式，金额等于贷款期限结束时支付的原始本金。换言之，借款人定期向偿债基金存入一定数额的资金，然后累积到本金的价值。

考虑贷款金额（L＝{a}{{重排{n} }}），其中（i）是贷款的利率。

根据偿债基金法，借款人支付的利息金额等于：
$$ i{a}_{\overline {n} |}=1-{v}^{n} $$
各偿债基金定期付款的金额等于：
$ $ \压裂{{一}_{\眉题{n } | } }{ { 年代}_{\眉题{n } | } } ={ v} ^ {n} $ $
因此，借款人每一时期支付的总金额等于:
$$左(1-{v}^{n} \右)+{v}^{n}=1 $$
注意，这和摊销法是一样的。
考虑下面的偿债基金计划。

期	分期付款	利息支付	偿债基金存款	偿债基金余额
1.	1.	\（i{a}{\overline{n}}}=1-{v}^{n}\）	\（{v}^{n}\）	\（{v}^{n}{s}{\第{1}}{124;}={v}^{n}\）
2.	1.	\（i{a}{\overline{n}}}=1-{v}^{n}\）		\（{v}^{n}{s}{\第{2}}行上方}
\（\vdots\）	\（\vdots\）	\（\vdots\）	\（\vdots\）	\（\vdots\）
K	1.	\（i{a}{\overline{n}}}=1-{v}^{n}\）	\（{v}^{n}\）	\({v}^{n}{s}_{\overline {k} |}\)
\（\vdots\）	\（\vdots\）	\（\vdots\）	\（\vdots\）	\（\vdots\）
N	1.	\(i{a}_{\overline {n} |}=1-{v}\)	\（{v}^{n}\）	\（{a}{\overline{1}}}-{v}={0}\）
总计	N	\（n-{n}{a}{\第{n}{124}行上）	\({n}{a}_{\overline {n} |}\)	\ (\)

注意与摊销时间表的差异。在偿债基金表中，支付的利率保持不变。

我们将使用与摊销计划相同的例子

例8

一个商人从一家金融机构获得1000美元的贷款，该贷款将在3年内分期偿还。年实际利率为7%。

为贷款建立偿债基金计划

解决方案

偿债基金的利息支付为:
$$0.07\乘以1000=70$$
偿债基金按金由:
$ $ \压裂{5000}{{年代}_{\眉题{3}|}@7 \ %}= \压裂{1000}{3.2149}= 311.0527 $ $
所以每年的分期付款等于:
$ $ $ $ 311.0527 + 70 = 381.0527

时间	分期付款	利息支付	偿债基金存款	偿债基金余额
1.	381.05	70	311.0527	311.0527
2.	381.05	70	311.0527	643.879
3.	381.05	70	311.0527	1000
总计	1143.15	210	933.1550

请注意，表中的值来自于计算偿债基金的表中的公式。